Probabilidad Condicional Y Teorema de Bayes

Es la probabilidad de que ocurra un evento considerando dentro de la probabildiad de otro evento dado.

Se indica así P(A|B), lo cual siginifica que queremos obtener la probabilidad de A a partir de la probabilidad de B. (A dado B)}


Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno no influencia la probabilidad del otro.
"Independencia de eventos es lo mismo que eventos mutuamente exclusivos"

_________________________________________________________________________________


Ejemplo. (Suma de las caras de dos dados).


Sean los eventos:

A={suma es 10 u 11} = { (4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5) }
B={caras iguales} = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) }

Cuál es la probabilidad de B dado A?

P(B|A) = P(A int B)/P(A) = (1/36)/(5/36) = 1/5 = 0.2

_________________________________________________________________________________

Una variante al ejemplo anterior.


A={suma es 10} = { (4,6),(5,5),(6,4) }
B={caras iguales} = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) }

P(A) = 3/36
P(B) = 6/36


P(A|B) = 1/6

P(B|A) = 1/3

Los dos eventos son independientes.






Teorema de Bayes

Si A ₁, A ₂ ,... , A_n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A ₁ A ₂ ... A _n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

Las probabilidades p(A₁) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(A_i/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/A_i) se denominan verosimilitudes.

________________________________________________________________________________

Ejemplo:

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.