Aproximación de la Distribución Binomial por la Normal

Utilizar la distribución normal (continua) como sustituto de una distribución binomial (discreta) para valores grandes de n, parece razonable porque conforme n aumenta, una distribución binomial se acerca más a una distribución normal.
La distribución de probabilidad normal, en general, se considera una buena aproximación a la binomial cuando n y n(1 - ) son ambos mayores que 5.

El valor .5 se resta o se suma, dependiendo del problema, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad binomial se aproxima por una distribución de probabilidad normal.

___________________________________________________________________

Ejemplo.

Un estudio reciente de una compañía de investigación de mercados mostró que 15% de las casas en Estados Unidos poseen una cámara de video. Se obtuvo una muestra de 200 casas.
De las 200 casas en la muestra ¿cuántas se espera que tengan una cámara de video?

La varianza

La desviación estándar

¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 casas de la muestra tengan cámara de video?

Se necesita P(X<40)>

Distribución Normal

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la norma

• Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
• Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media.
• Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ..

En general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

Representación gráfica de esta función de densidad





Función de Distribución

• Los valores más cercanos al amedia son más probables.

• Conforme un valor se aleja más de la media, la porbabilidad va disminuyendo simétricamente a la recta de la media.

• La probabilidad de cada valor va decreciendo dependiendo de un parámetro s , que es la desviación estándaR.

Más ejemplos de distribución normal (Campana de Gauss):

Tamaño apropiado para una muestra

1:
Si n>=30, se puede aplicar el teorema del limite central para una población con cualaquier tipo de distribución de probabilidad.

2:
Si n<30, es necesario asegurarse que la distribución de probabilidad es normal.




Teorema del limite central

Distribución Binomial

Si un experimento aleatorio tiene la sig. características:

• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario A' (fracaso).
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
• La porbabilidad del suceso A es constante, se represente como p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A' es 1-p y se representa como q.
• El experimento consta de un número n de pruebas.
  

este experimento sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones.

La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.

Función de probabilidad de la variable aleatoria binomial

donde:

Para calcular los parámetros dentro de la probabilidad binomial se utilizan los siguientes:

________________________________________________________________

Ejemplo 1

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución:

B(50, 0'007)

________________________________________________________________

Ejemplo 2

La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.

Solución:

Valor Esperado de una Variable Aleatoria

La funciòn de probabilidad puede entenderse como una proporcion de los ensayos en los que la variable aleatoria toma el valor de x. Dado esto, lamedia de los valores puede calcularse como el promedio ponderado de los valores posibles de x,asignando al resultado de x un factor de ponderaciòn.

f(x)=P(X=x)

Funciòn de Distribuciòn Acumulada Y Ensayos de Bernoulli

Probabilidades de que 2 clientes aprueben un producto



x=(aprobado por los clientes)


P(x=0)=0.04

P(x=1)=0.16+0.16=0.32

P(x=2)=0.64


_____________________________________________________________



Ensayos de Bernoulli

Un Ensayo de Bernoulli es un experimento, del cual su resultado es aleatorio y puede encuadrarse en uno de dos resultados posibles, llamados "éxito" y "fracaso".

Matemáticamente, tal ensayo es modelado por una variable aleatoria que puede tomar solo dos valores, 0 y 1; siendo 1 el "éxito". Si p es la probabilidad de éxito, entonces el valor del valor esperado de tal variable aleatoria es p y su desviación estándar es

Un ensayo de Bernoulli consiste en formar repetidamente un mismo ensayo, siempre bajo la mismas condiciones.
Un ejemplo sería tirar una moneda n veces.

UNIDAD III - Funciones de Distribución de Variables

Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fácilmente mediante un número real, se denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos números.

Variable aleatoria continua

Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1.

Variable aleatoria discreta

Una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1.

Una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral que x puede tomar en P(X = x). De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

Definiciones...

Rango de la función: Son todos los valores que puede tomar una variable.

Ejemplo.

Se tiran 2 dados y se suma el valor de sus caras. La variable aleatoria x puede tomar cualquiera de los valores de su espacio muestral:

S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
x=8

La variable aleatoria representa la suma de los valores de las caras de los dos dados.

S={(1,1),(1,2),(1,3),.....}=n(s)=36





Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados se obtenga una suma de 5 o menos?

P(x ≤ 5) = 4/36+3/36+2/36+1/36=10/36

_______________________________


Una variable aleatoria asigna un número real a cada resultado en S.
Una variable aleatoria discreta es aquella que posee un rango finito.

S={(1,1),(1,2),(1,3),........}

x={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Si podemos contar el rango del espacio muestral entonces es finito, y por lo tanto x será una variable discreta.

_____________________________________________________________________________________

Otro ejemplo:

Si x=(tiempo de espera para que un avión llegue al aeropuerto), x sería una variable continua.
_____________________________________________________________________________________


El evento està formado para todos los resultados donde (X=x, X es la variable aleatoria y x es el valor que toma la variable. Se denota como {X=x} y la probabilidad asociada P(X=x).

La funciòn f(x)=P(X=x) que va del conjunto de los valores posibles de la vairbale aleatoria x al intervalo cerrado [0,1] recibe el nombre de funciòn de probabilidad o funciòn de distribuciòn de probabilidad.







Sea x una variable aleatoria que denota el nùmero de muestras de aire que es necesario analizar para detectar una molécula rara. Supòngase que la porbabilidad de que una muestra contenga una molècula rara es 0.01 y que las muestras son independientes. Determine la funciònde probabilidad de X.

s=contiene molecula rara
n=no contiene molecula rara

S={s,ns,nns,nnns,nnnns,.....,n^x-1 s}

n^x-1=f(x)

P(s)=0.01
P(s`)=1-0.1=0.99

f(x)=0.99^x-1 (0.01) <------funciòn de probabilidad P(x=3)=0.99^3-1(0.01)=0.99^2(0.01)=0.0098 _____________________________________________________________________________________ Un operador registra el tiempo requerido para terminar un ensamble.... Los resultados son:

n=122

Sea x el tiempo necesario para terminar cada ensamble:

a) Determina la funciòn de probabilidad de X




b) P(33<=x<38)

0.073+0.098+0.2+0.26+0.12= 0.751


c) P(x<=35)

0.024+0.04+0.049+0.073+0.098+0.2=0.484


Proporciòn de ensambles=0.48(122)= 58.56

=59 ensambles